Ciąg ograniczony
Zbadajmy zachowanie się ciągów ze względu na własność ograniczoności.
Rys. 1 przedstawia wykres ciągu, którego wszystkie wyrazy są mniejsze od liczby A=2.
Rys. 2 przedstawia wykres ciągu, którego wszystkie wyrazy są większe od liczby A=-1,6.
Na Rys. 1 i Rys. 2 widzimy wykresy dwóch ciągów, przy czym wszystkie wyrazy pierwszego ciągu są mniejsze od pewnej liczby rzeczywistej i taki ciąg nazywamy ciągiem ograniczonym od góry, podczas gdy wszystkie wyrazy drugiego ciągu są większe od pewnej liczby rzeczywistej i nazywamy go ciągiem ograniczonym od dołu.
Rys. 3 przedstawia wykres ciągu, którego wszystkie wyrazy są mniejsze od liczby 1, ale większe od liczby -3. Oznacza to, że wszystkie wyrazy tego ciągu leżą w przedziale \( [-3,3] \).
Istnieją również ciągi, które są ograniczone zarówno od góry, jak i od dołu i taki ciąg nazywamy ograniczonym. Zauważamy, że wszystkie wyrazy ciągu ograniczonego leżą w przedziale \( [-A, A] \), dla pewnej liczby \( A>0 \).
Rys. 4 przedstawia wykres ciągu, dla którego znajdą się wyrazy zarówno większe jak i mniejsze od dowolnej liczby rzeczywistej. Ciąg taki nie spełnia więc żadnego z warunków ograniczoności.
W przypadku, gdy nie znajdziemy takiej liczby, od której wszystkie wyrazy ciągu byłyby mniejsze, lub takiej, od której wszystkie wyrazy byłyby większe, to ciąg o tej własności nazywamy nieograniczonym.
Definicja 1: Ciąg ograniczony od góry
Definicja 2: Ciąg ograniczony od dołu
Definicja 3: Ciąg ograniczony
Aby analitycznie zbadać, czy ciąg jest ograniczony od góry (albo od dołu) należy znaleźć liczbę rzeczywistą, dla której spodziewamy się, że każdy wyraz ciągu będzie od niej mniejszy (albo większy), a następnie udowodnić, że rzeczywiście tak jest. Znaleźć taką liczbę można korzystając z wykresu ciągu lub z ogólnych zasad pozwalających ograniczać wartości wyrażeń.
Warto zauważyć prosty fakt, że ciąg rosnący jest zawsze ograniczony od dołu, a ciąg malejący jest ograniczony od góry przez swój pierwszy wyraz.
Przykład 1:
Zbadaj ograniczoność ciągu \( a_n=\frac{1}{3+n} \).
Rozwiązanie
Zauważamy, że ciąg \( a_n \) jest malejący, bo
Zatem dla każdego \( n \in \mathbb{N} \), \( a_n \lt a_1=\frac{1}{4} \).
Z drugiej strony \( a_n \gt 0 \) dla wszystkich \( n \), czyli ciąg \( (a_n) \) jest ograniczony.Przykład 2:
Zbadaj ograniczoność ciągu \( b_n= \frac{(-4)^n}{1+2^n} \).
Rozwiązanie
Zauważamy, że ciąg inaczej zachowuje się dla \( n \) parzystych, a inaczej dla \( n \) nieparzystych.
Dla \( n \) parzystych \( b_n=\frac{4^n}{1+2^n} \).
Pokażemy, że dla dowolnego \( A \) od pewnego miejsca \( b_n \gt A \).
Rzeczywiście, nierówność jest spełniona dla każdego \( A \lt 0 \), a dla \( A \geq 0 \) mamy
czyli zawsze znajdziemy tak duże \( n \in \mathbb{N} \), dla którego \( b_n \gt A \), a zatem ciąg \( (b_n) \) nie jest ograniczony od góry.
Analogicznie pokazujemy, że dla n nieparzystych, dla dowolnego \( A \), od pewnego miejsca \( b_n \lt A \).